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- Una definición recursiva (o definición inductiva) en lógica matemática y ciencias de la computación se utiliza para definir los elementos de un conjunto en términos de otros elementos del conjunto (Aczel 1978:740ff). La definición recursiva de una función define los valores de las funciones para algunas entradas en términos de los valores de la misma función para otras entradas. Por ejemplo, la función factorial n! está definida por las reglas 0! = 1. (n+1)! = (n+1)·n!. Esta definición es válida para todos los n, porque la recursividad finalmente alcanza el caso base de 0. También se puede pensar en la definición como un procedimiento que describe cómo construir la función n!, comenzando desde n = 0 y continuando con n = 1, n = 2, n = 3, etc... El teorema de la recursividad establece que tal definición define efectivamente una función. La prueba utiliza inducción matemática. Una definición inductiva de un conjunto describe los elementos de un conjunto en términos de otros elementos del conjunto. Por ejemplo, una definición del conjunto de números naturales N es: 1.
* 1 está en N 2.
* Si un elemento n está en N entonces n+1 está también en N. 3.
* N es la intersección de todos los conjuntos que satisfacen (1) y (2). Hay muchos conjuntos que satisfacen (1) y (2) - por ejemplo, el conjunto {1, 1.649, 2, 2.649, 3, 3.649, ...} satisface la definición. Sin embargo, la condición (3) especifica el conjunto de números naturales eliminando los conjuntos con elementos extraños. Las propiedades de las funciones y conjuntos definidos recursivamente se pueden probar a menudo mediante un principio de inducción que sigue la definición recursiva. Por ejemplo, la definición de los números naturales presentados aquí implica directamente el principio de inducción matemática para los números naturales: si una propiedad tiene el número natural 0, y la propiedad tiene n+1 cuando tiene n, entonces la propiedad tiene todos los números naturales (Aczel 1978:742). (es)
- Una definición recursiva (o definición inductiva) en lógica matemática y ciencias de la computación se utiliza para definir los elementos de un conjunto en términos de otros elementos del conjunto (Aczel 1978:740ff). La definición recursiva de una función define los valores de las funciones para algunas entradas en términos de los valores de la misma función para otras entradas. Por ejemplo, la función factorial n! está definida por las reglas 0! = 1. (n+1)! = (n+1)·n!. Esta definición es válida para todos los n, porque la recursividad finalmente alcanza el caso base de 0. También se puede pensar en la definición como un procedimiento que describe cómo construir la función n!, comenzando desde n = 0 y continuando con n = 1, n = 2, n = 3, etc... El teorema de la recursividad establece que tal definición define efectivamente una función. La prueba utiliza inducción matemática. Una definición inductiva de un conjunto describe los elementos de un conjunto en términos de otros elementos del conjunto. Por ejemplo, una definición del conjunto de números naturales N es: 1.
* 1 está en N 2.
* Si un elemento n está en N entonces n+1 está también en N. 3.
* N es la intersección de todos los conjuntos que satisfacen (1) y (2). Hay muchos conjuntos que satisfacen (1) y (2) - por ejemplo, el conjunto {1, 1.649, 2, 2.649, 3, 3.649, ...} satisface la definición. Sin embargo, la condición (3) especifica el conjunto de números naturales eliminando los conjuntos con elementos extraños. Las propiedades de las funciones y conjuntos definidos recursivamente se pueden probar a menudo mediante un principio de inducción que sigue la definición recursiva. Por ejemplo, la definición de los números naturales presentados aquí implica directamente el principio de inducción matemática para los números naturales: si una propiedad tiene el número natural 0, y la propiedad tiene n+1 cuando tiene n, entonces la propiedad tiene todos los números naturales (Aczel 1978:742). (es)
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