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Teoría de anillos

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En álgebra abstracta, la teoría de anillos es el estudio de anillos —estructuras algebraicas en las cuales la adición y la multiplicación están definidas y tienen propiedades similares a aquellas operaciones definidas para los enteros—. La teoría de anillos estudia la estructura de anillos, sus , o, en lenguaje diferente, módulos, clases especiales de anillos (, anillos de división, ), así como una variedad de propiedades que resultaron de interés tanto dentro de la propia teoría y para sus aplicaciones, como propiedades homológicas e .

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En álgebra abstracta, la teoría de anillos es el estudio de anillos —estructuras algebraicas en las cuales la adición y la multiplicación están definidas y tienen propiedades similares a aquellas operaciones definidas para los enteros—. La teoría de anillos estudia la estructura de anillos, sus , o, en lenguaje diferente, módulos, clases especiales de anillos (, anillos de división, ), así como una variedad de propiedades que resultaron de interés tanto dentro de la propia teoría y para sus aplicaciones, como propiedades homológicas e . Los anillos conmutativos son mucho mejor entendidos que los no conmutativos. La geometría algebraica y la teoría de números algebraicos, los cuales proporcionan muchos ejemplos naturales de anillos conmutativos, han impulsado mucho el desarrollo de la teoría de anillos conmutativos, el cual está ahora, bajo el nombre de álgebra conmutativa, un área importante de la matemática moderna. Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría de números algebraicos y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, es normalmente difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado particular. Por ejemplo, El teorema de los ceros de Hilbert es un teorema que es fundamental para la geometría algebraica, y está declarado y probado en términos de álgebra conmutativa. Del mismo modo, el último teorema de Fermat está declarado en términos de aritmética elemental, el cual es una parte de álgebra conmutativa, pero su prueba implica resultados profundos tanto de la teoría de números algebraicos como de la geometría algebraica. Los son bastante diferentes en sabor, ya que un comportamiento más inusual puede surgir. Mientras la teoría se ha desarrollado por derecho propio, una tendencia bastante reciente ha buscado paralelizar el desarrollo conmutativo construyendo la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de una manera geométrica como si fueran anillos de funciones sobre (no existentes) 'espacios no conmutativos'. Esta tendencia se inició en la década de 1980 con el desarrollo de la geometría no conmutativa y con el descubrimiento de . Esto ha llevado a una mejor comprensión de los anillos no conmutativos, especialmente anillos notherianos (Goodearl 1989). Para las definiciones de un anillo y conceptos básicos y sus propiedades, ver anillo (matemática). Las definiciones de términos utilizados a lo largo de la teoría de anillos se pueden encontrar en el Anexo:Glosario de teoría de anillos.

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