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Orden (teoría de anillos)

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En matemáticas, más precisamente en el campo de la teoría de los anillos, el orden es un subanillo de un anillo , de manera que 1. * es un anillo el cual es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales 2. * engendra sobre , para que , y 3. * es un en (es decir, un ℤ-submódulo de tipo finito sin torsión). Las últimas dos condiciones pueden explicarse en términos más informales: aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para sobre . Algunos ejemplos son:​

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En matemáticas, más precisamente en el campo de la teoría de los anillos, el orden es un subanillo de un anillo , de manera que 1. * es un anillo el cual es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales 2. * engendra sobre , para que , y 3. * es un en (es decir, un ℤ-submódulo de tipo finito sin torsión). Las últimas dos condiciones pueden explicarse en términos más informales: aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para sobre . Más generalmente, para , un dominio integral contenido en un campo , definimos para ser de -orden en una -álgebra si esta es un subanillo de , la cual es una -red completa.​ Cuando no es un anillo conmutativo, la idea del orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son cuaterniones con coordenadas enteros. Los órdenes máximos existen, en general, pero se necesita que no sean únicos: en general no hay un orden más grande, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos son los grupos de anillos integrales. Algunos ejemplos son:​ * Si es la matriz del anillo sobre , entonces la matriz del anillo sobre es de -orden en . * Si es un dominio integral y una extensión separable finita de , entonces el cierra integral de en es de -orden en . * Si en es un elemento integral sobre , entonces el anillo de polinomios es de -orden en el álgebra . * Si es el grupo del anillo de un grupo finito , entonces es de -orden en . Una propiedad fundamental de los -órdenes es que cada elemento de un -orden es integral sobre .​ Si el cierre integral de en es un -orden, entonces este resultado muestra que es el -orden máximo en . Sin embargo, este no es siempre el caso: en realidad, ni siquiera necesita ser un anillo, e incluso si lo es (por ejemplo, cuando es conmutativo), entonces no necesita ser una -red.​

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