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Derivada de Lie

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En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable , cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial:una aplicación -lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones. * para toda función diferenciable f. * para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie.

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En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable , cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial:una aplicación -lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones. Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores:Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:​ * para toda función diferenciable f. * para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie. La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial: * la regla del producto * conmutará con las contracciones. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie. Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de respecto de un campo como . Esta notación, en ocasiones más limpia que la anterior pues evita subíndices, proviene del profesor .

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