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Cúspide (singularidad)

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En matemáticas, una cúspide es un punto de una curva donde un punto móvil que recorra la curva debe comenzar a retroceder. Un ejemplo típico se da en la figura adjunta. Una cúspide es, por lo tanto, un tipo de punto singular de una curva. Para una curva plana definida por una ecuación paramétrica analítica​ Para una curva definida por una ecuación implícita suave (continuamente diferenciable) En algunos contextos, y en el resto de este artículo, la definición de una cúspide se limita al caso de las cúspides de orden dos, es decir, el caso donde m = 2.

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Peter Giblin Ian R. Porteous

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Geometric Differentiation Curves and Singularities

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En matemáticas, una cúspide es un punto de una curva donde un punto móvil que recorra la curva debe comenzar a retroceder. Un ejemplo típico se da en la figura adjunta. Una cúspide es, por lo tanto, un tipo de punto singular de una curva. Para una curva plana definida por una ecuación paramétrica analítica​ una cúspide es un punto donde las derivadas de f y g son simultáneamente cero, y la derivada direccional, en la dirección de la tangente, cambia de signo (la dirección de la tangente es la dirección de la pendiente ) Las cúspides son singularidades locales en el sentido de que involucran solo un valor del parámetro t, en contraste con los puntos de auto-intersección que involucran más de un valor. En algunos contextos, la condición en la derivada direccional puede omitirse, aunque, en este caso, la singularidad puede parecer un punto regular. Para una curva definida por una ecuación implícita suave (continuamente diferenciable) las cúspides son puntos donde los términos del grado más bajo de la expansión en serie de Taylor de F son una potencia de un polinomio lineal; sin embargo, no todos los puntos singulares que tienen esta propiedad son cúspides. La teoría de la implica que, si F es una función analítica (por ejemplo, un polinomio), un cambio lineal de coordenadas permite que la curva se parametrice, en una vecindad de la cúspide, como donde a es un número real, m es un entero par positivo y S(t) es una serie de potencias de orden k (grado del término distinto de cero del grado más bajo) mayor que m. El número m se llama el orden o la multiplicidad de la cúspide, y es igual al grado de la parte distinta de cero del grado más bajo de F. Estas definiciones han sido generalizadas a las curvas definidas por funciones diferenciables por René Thom y Vladimir Arnold, de la siguiente manera. Una curva tiene una cúspide en un punto si hay un difeomorfismo de una vecindad del punto en el espacio del entorno, que aplica la curva en una de las cúspides definidas anteriormente. En algunos contextos, y en el resto de este artículo, la definición de una cúspide se limita al caso de las cúspides de orden dos, es decir, el caso donde m = 2. Una cúspide de una curva plana (de orden dos) se puede poner en la siguiente forma mediante un difeomorfismo del plano: x2 – y2k+1 = 0, donde k es un número entero positivo.[cita requerida]

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