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- En 1922 Élie Cartan conjeturó que la relatividad general debe ser extendida incluyendo la , que permite un tensor de Ricci asimétrico. La extensión de la geometría de Riemann para incluir torsión afín ahora se conoce como geometría de Riemann-Cartan. Una geometría de Riemann-Cartan se determina unívocamente por: 1.
* una elección del campo tensorial métrico (que especifica todas las longitudes de los vectores y los ángulos entre los vectores), 2.
* un campo de torsión afín, y 3.
* el requisito de que las longitudes y los ángulos se preserven por traslación paralela (como en la geometría de Riemann donde la torsión es cero). Una geometría de Riemann es una geometría de Riemann-Cartan con la torsión cero, así que es determinada unívocamente por un tensor métrico. Como la teoría principal de la física clásica, la relatividad general tiene un defecto conocido: no puede describir adecuadamente el intercambio entre el momento angular intrínseco (espín) y el momento angular orbital. El problema arraiga en los fundamentos de la relatividad general. La relatividad general se basa en la geometría de Riemann, en la cual el tensor de curvatura de Ricci Rij debe ser simétrico en i y j (es decir, Rij = Rji). En relatividad general, Rij modela las fuerzas gravitacionales locales, y su simetría fuerza al (usamos P y dejamos T para torsión): Pij a ser simétrico, de modo que la relatividad general no puede acomodar la ecuación general de la conservación del momento angular: divergencia de la corriente de espín ½(Pij - Pji) = 0. Una interpretación geométrica de la torsión afín viene de la mecánica del continuo en materiales sólidos. La torsión afín es la aproximación continua a la densidad de dislocaciones que se estudian en metalurgia y cristalografía. Las clases más simples de dislocaciones en cristales reales son:
* las dislocaciones de borde (formadas agregando un semiplano adicional de átomos a un cristal perfecto, así que se consigue un defecto en la estructura cristalina regular a lo largo de la línea donde el semiplano adicional termina), y
* las dislocaciones de "tornillo" (formadas insertando "una rampa de garaje de estacionamiento" que amplía los bordes del garaje en una estructura, que de otra manera sería perfectamente apilada). Se puede pensar en una geometría de Riemann-Cartan como unívocamente determinada por las longitudes y los ángulos de vectores y la densidad de dislocaciones en la estructura afín del espacio. La relatividad general fijó la torsión afín en cero, porque no parecía necesaria para proporcionar un modelo de la gravitación (con un conjunto consistente de ecuaciones que condujo a un problema bien-definido del valor inicial). (es)
- En 1922 Élie Cartan conjeturó que la relatividad general debe ser extendida incluyendo la , que permite un tensor de Ricci asimétrico. La extensión de la geometría de Riemann para incluir torsión afín ahora se conoce como geometría de Riemann-Cartan. Una geometría de Riemann-Cartan se determina unívocamente por: 1.
* una elección del campo tensorial métrico (que especifica todas las longitudes de los vectores y los ángulos entre los vectores), 2.
* un campo de torsión afín, y 3.
* el requisito de que las longitudes y los ángulos se preserven por traslación paralela (como en la geometría de Riemann donde la torsión es cero). Una geometría de Riemann es una geometría de Riemann-Cartan con la torsión cero, así que es determinada unívocamente por un tensor métrico. Como la teoría principal de la física clásica, la relatividad general tiene un defecto conocido: no puede describir adecuadamente el intercambio entre el momento angular intrínseco (espín) y el momento angular orbital. El problema arraiga en los fundamentos de la relatividad general. La relatividad general se basa en la geometría de Riemann, en la cual el tensor de curvatura de Ricci Rij debe ser simétrico en i y j (es decir, Rij = Rji). En relatividad general, Rij modela las fuerzas gravitacionales locales, y su simetría fuerza al (usamos P y dejamos T para torsión): Pij a ser simétrico, de modo que la relatividad general no puede acomodar la ecuación general de la conservación del momento angular: divergencia de la corriente de espín ½(Pij - Pji) = 0. Una interpretación geométrica de la torsión afín viene de la mecánica del continuo en materiales sólidos. La torsión afín es la aproximación continua a la densidad de dislocaciones que se estudian en metalurgia y cristalografía. Las clases más simples de dislocaciones en cristales reales son:
* las dislocaciones de borde (formadas agregando un semiplano adicional de átomos a un cristal perfecto, así que se consigue un defecto en la estructura cristalina regular a lo largo de la línea donde el semiplano adicional termina), y
* las dislocaciones de "tornillo" (formadas insertando "una rampa de garaje de estacionamiento" que amplía los bordes del garaje en una estructura, que de otra manera sería perfectamente apilada). Se puede pensar en una geometría de Riemann-Cartan como unívocamente determinada por las longitudes y los ángulos de vectores y la densidad de dislocaciones en la estructura afín del espacio. La relatividad general fijó la torsión afín en cero, porque no parecía necesaria para proporcionar un modelo de la gravitación (con un conjunto consistente de ecuaciones que condujo a un problema bien-definido del valor inicial). (es)
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