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- En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. Se tiene un total de diez monomios; y por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9 sobre cualquier campo numérico dado K. Cada punto P impone una condición lineal única en F, si se pide que C pase a través de P. Por lo tanto, se puede encontrar alguna curva cúbica a través de un conjunto cualquiera de nueve puntos dados, que pueden ser degenerados y pueden no ser únicos, pero serán únicos y no degenerados si los puntos están en posición general. Esta propiedad se puede comparar con los dos puntos que determinan una recta y con los cinco puntos que determinan una cónica. Si dos cúbicas pasan por un conjunto dado de nueve puntos, entonces, de hecho, un haz de cúbicas también lo hace, y los puntos satisfacen propiedades adicionales; tal como establece el teorema de Cayley-Bacharach. Una curva cúbica puede tener un punto singular, en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una recta proyectiva. De lo contrario, se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión, sobre un campo cerrado algebraicamente como los números complejos. Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz hessiana, que define nuevamente una cúbica, y se cruza con C. Las intersecciones se contabilizan mediante el teorema de Bézout. Sin embargo, solo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los otros no pueden verse en el plano proyectivo real dibujando la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada recta que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión. Isaac Newton estudió los puntos reales de las curvas cúbicas. Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular se localizan en uno o dos 'óvalos'. Uno de estos óvalos cruza cada recta proyectiva real y, por lo tanto, nunca está delimitado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano, y aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que con las secciones cónicas, una recta corta este óvalo en, como máximo, dos puntos. Una cúbica plana no singular define una curva elíptica, sobre cualquier campo K para el que tiene un punto definido. Las curvas elípticas ahora se estudian normalmente en alguna variante de las funciones elípticas de Weierstrass, definiendo una extensión cuadrática del campo de funciones racionales realizado mediante la extracción de la raíz cuadrada de una cúbica. Esto depende de tener un K-, que sirve como el punto del infinito en la forma de Weierstrass. Existen muchas curvas cúbicas que no tienen este punto, por ejemplo, cuando K es el campo de los números racionales. Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide. Una curva cúbica plana reducible es bien una cónica y una recta, o bien tres rectas, y en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un tacnodo (si es una cónica y una recta), o hasta tres puntos dobles o un punto triple simple (líneas concurrentes) si se trata de tres rectas. (es)
- En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. Se tiene un total de diez monomios; y por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9 sobre cualquier campo numérico dado K. Cada punto P impone una condición lineal única en F, si se pide que C pase a través de P. Por lo tanto, se puede encontrar alguna curva cúbica a través de un conjunto cualquiera de nueve puntos dados, que pueden ser degenerados y pueden no ser únicos, pero serán únicos y no degenerados si los puntos están en posición general. Esta propiedad se puede comparar con los dos puntos que determinan una recta y con los cinco puntos que determinan una cónica. Si dos cúbicas pasan por un conjunto dado de nueve puntos, entonces, de hecho, un haz de cúbicas también lo hace, y los puntos satisfacen propiedades adicionales; tal como establece el teorema de Cayley-Bacharach. Una curva cúbica puede tener un punto singular, en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una recta proyectiva. De lo contrario, se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión, sobre un campo cerrado algebraicamente como los números complejos. Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz hessiana, que define nuevamente una cúbica, y se cruza con C. Las intersecciones se contabilizan mediante el teorema de Bézout. Sin embargo, solo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los otros no pueden verse en el plano proyectivo real dibujando la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada recta que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión. Isaac Newton estudió los puntos reales de las curvas cúbicas. Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular se localizan en uno o dos 'óvalos'. Uno de estos óvalos cruza cada recta proyectiva real y, por lo tanto, nunca está delimitado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano, y aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que con las secciones cónicas, una recta corta este óvalo en, como máximo, dos puntos. Una cúbica plana no singular define una curva elíptica, sobre cualquier campo K para el que tiene un punto definido. Las curvas elípticas ahora se estudian normalmente en alguna variante de las funciones elípticas de Weierstrass, definiendo una extensión cuadrática del campo de funciones racionales realizado mediante la extracción de la raíz cuadrada de una cúbica. Esto depende de tener un K-, que sirve como el punto del infinito en la forma de Weierstrass. Existen muchas curvas cúbicas que no tienen este punto, por ejemplo, cuando K es el campo de los números racionales. Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide. Una curva cúbica plana reducible es bien una cónica y una recta, o bien tres rectas, y en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un tacnodo (si es una cónica y una recta), o hasta tres puntos dobles o un punto triple simple (líneas concurrentes) si se trata de tres rectas. (es)
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- En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. (es)
- En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. (es)
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